Materi SEGITIGA

SEGITIGA

A.   Definisi segitiga

Segitiga adalah bangun datar yang mempunyai  tiga sisi. Ketiga ujungnya saling bertemu dan membentuk sudut. Jumlah sudut dalam segitiga adalah 180°.

   

B.   Unsur- Unsur  Segitiga

Unsur-unsur suatu segitiga terdiri atas 3 ruas garis sebagai sisi segitiga dan 3 sudut yang masing-masing dibentuk oleh sepasang-sepasang sisi-sisi segitiga tersebut.

                        

                                                                       

Pada gambar diatas, sisi-sisi segi-tiga dan sudut-sudut segitiga adalah:

AB = c. BC = a. AC = b

Ð A = α ; Ð B = β ; Ð C = γ

Untuk membentuk suatu segitiga diperlukan 3 unsur, yang memenuhi persyaratan tertentu

(kecuali ketiganya sudut). Beberapa alternatif pasangan ketiga unsur pembentuk segitiga

adalah :

(ss, ss, ss) ; (ss, ss, sd) ; (ss, sd, ss) ; (ss, sd, sd) dan (sd, ss, sd)

Dari pasangan unusr yang diketahui untuk suatu segitiga, dapat ditentukan unsur-unsur lain

yang tidak diketahui.

Fungsi trigonometri yang berlaku untuk sudut-sudut dalam segitiga memberikan beberapa

formula yang menyatakan hubungan antara sisi-sisi dan sudut-sudut segitiga, sehingga

memudahkan perhitungan unsur segitiga yang belum diketahui.

C.   Jenis – jenis  Segitiga

Jenis-jenis suatu segitiga dapat ditinjau berdasarkan

a. panjang sisi-sisinya;

b. besar sudut-sudutnya;

c. panjang sisi dan besar sudutnya.

1.     Jenis Segitiga Ditinjau dari Panjang Sisi-sisinya

a.       Segitiga sama sisi

Segitiga sama sisi adalah segitiga yang mempunyai tiga sisi sama panjang dan s        emua sudutnya sama besarnya yaitu 60⁰.

Perhatikan gambar segitiga sama sisi KLM di atas,

·         Panjang KL = LM = KM

·         Sudut K = Sudut M = Sudut L ( yaitu 60⁰ )

b.       Segitiga sama kaki

Segitiga sama kaki adalah segitiga dengan dua sisinya yang sama panjang dan terbentuk dari dua segitiga siku-siku yang kongruen.

Perhatikan gambar segitiga sama kaki di atas,

·         Panjang PQ = PR ( PQ dan PR di sebut kaki ).

·         Sudut Q = Sudut R ( di sebut sudut-sudut kaki segitiga PQR ).

·         Sisi QR merupakan alas dan Sudut P adalah sudut puncak.

c.         Segitiga sembarang

Segitiga sembarang adalah segitiga dengan ketiga sisinya tidak sama panjang dan juga sudut-sudutnya tidak sama besar.

Perhatikan segitiga sembarang ABC di atas ,

·         Panjang AB ≠ BC ≠ CA.

·         sudut A ≠ sudut B ≠ sudut C.

2.     Jenis segitiga ditinjau dari besar sudutnya.

Dilihat dari besar sudut-sudutnya jenis segitiga di bedakan dalam tiga jenis yaitu :

a         Segitiga lancip

Segitiga yang memiliki tiga buah sudutnya berbentuk lancip dimana besar masing-masing sudutnya lebih dari 0⁰ dan kurang dari 90⁰ disebut dengan segtitiga lancip.

Perhatikan gambar segitiga lancip ABC di atas,

·         Sudut A, sudut B dan Sudut C merupakan sudut lancip.

b.      Segitiga siku-siku

Segitiga dengan salah satu sudutnya berukuran 90⁰ disenut dengan segitiga siku-siku.

Perhatikan gambar segitiga siku-siku ABC di atas,

·         Sudut A merupakan sudut siku-siku yang ukurannya adalah 90^0.

c.        Segitiga tumpul

Segitiga yang salah satu sudutnya tumpul dimana salah satu sudutnya lebih dari 90⁰ tetapi kurang dari 180⁰ di sebut dengan segitiga tumpul.

Perhatikan gambar segitiga tumpul PQR di atas,

·         Sudut P merupakan sudut tumpul dari segitiga tersebut.

3.       Jenis-Jenis Segitiga Dilihat Dari Panjang Sisi-Sisinya Dan Besar Sudut-Sudutnya

Dilihat dari panjang sisi-sisinya dan besar sudut-sudutnya segitiga di bedakan dalam tiga jenis yaitu :

a.      Segitiga siku-siku sama kaki

Segitiga yang memiliki besar salah satu sudutnya 90⁰ dan kedua sisinya sama panjang biasa di sebut dengan segitiga siku-siku sama kaki.

b         Segitiga lancip sama kaki

Segitiga dengan sudut lancip dan kedua sisinya sama panjang di sebut dengan segitiga lancip sama kaki.

c         Segitiga tumpul sama kaki

Segitiga yang mempunyai salah satu sudutnya tumpul dan memiliki dua sisi yang sama panjangnya.

D.   Sifat – sifat segitiga

1.      Jumlah seluruh sudut di dalam bangun segitiga adalah 180°.

2.      Teorema Pythagoras

Untuk segitiga siku- siku ABC berlaku Teorema Pythagoras, yaitu “ kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi siku- sikunya.”

Teorema Pythagoras

                        BC ² =AB² + AC²     atau a² = b² + c²

3.      Dua segitiga kogruen

Perhatikan gambar berikut ini !

           

Gambar diatas merupakan gambar segitiga KLM yang kongruen dengan segitiga PQR. Dua segitiga dikatakan kongruen (sama dan sebangun) jika dan hanya jika sisi-sisi dan sudut –sudut yang bersesuaian sama besar yaitu:

a.       Ketiga sisinya sama panjang .

KL=PQ, LM = QR, dan MK= RP

b.      Sebuah sisi dan kedua sudut apitnya sama besar.

c.       Dua sisi sama panjang dan sudut apitnya sama besar.

LM = QR,dan KL= PQ

d.      Dua sisi hipotenusa pada dua segitiga siku- siku sama panjang dan dua sisi lainnya sama panjang pula.  Segitiga KLM kogruen dengan segitiga PQR , di notasikan dengan 

4.      Dua segitiga sebagun

Perhatikan gambar berikut !

 

 

Gambar segitiga DEF sebagun dengan segitiga PQR. Dua segitiga di katakana sebagun ( similar) jika memenuhi syarat-syarat berikut.

a.       Perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian sama yaitu:

b.      Sudut –sudut yang bersesuaian sama besar, yaitu:

Segitia DEF sebangun dengan segitiga PQR , dinotasikan dengan

E.   Luas Dan Keliling Segitiga

                               

K = a+ b + c

L= ½ x alas x tinggi

atau

            

            Dengan s = ½  ( a + b + c )    

 CONTOH SOAL

1.      Hitunglah keliling segitiga dengan panjang sisi-sisinya  8 cm; 16 cm; dan 12 cm .

Cara penyelesaian :

Mencari keliling segitiga dapat dilakukan dengan menjumlahkan seluruh sisi dari segitiga tersebut, maka

K = a+ b + c

K= 8 cm+ 16 cm + 12 cm

K=36 cm

2.      Hitunglah luas daerah masing-masing segitiga pada gambar di bawah ini.

                                                       

Cara penyelesaian:

Luas segitiga ABC dapat dicari dengan persamaan:

L.ΔABC = ½ x alas x tinggi

L.ΔABC = ½ x AB x BC

L.ΔABC = ½ x 8 cm x 6 cm

L.ΔABC = 24 cm²

3.      Sebidang tanah berbentuk segitiga dengan panjang tiap sisi tanah berturut-turut 4 m, 5 m, dan 7 m. Di sekeliling tanah tersebut akan dipasang pagar dengan biaya Rp 85.000,00 per meter. Berapakah biaya yang diperlukan untuk pemasangan pagar tersebut?

Cara penyelesaian:

Mencari keliling segitiga dapat dilakukan dengan menjumlahkan seluruh sisi dari segitiga tersebut, maka

kllΔ = 4 m + 5 m + 7 m

kllΔ = 16 m

karena biaya yang diperlukan Rp 85.000,00/m, maka

Biaya = 16 m x Rp 85.000,00/m

Biaya = Rp 1.360.000,00

Jadi biaya yang diperlukan untuk pemasangan pagar tersebut adalah Rp 1.360.000,00

LATIHAN SOAL

1.      Sebuah taman berbentuk segitiga sama kaki dengan panjang sisi yang sama 15 m, panjang sisi lainnya 12 m, dan tinggi 7 m. Jika taman tersebut akan ditanami rumput dengan biaya Rp. 60.000/m², hitunglah keseluruhan biaya yang diperlukan.

2.      Diketahui segitiga ABC dengan garis tinggi AD seperti gambar berikut.

Jika ∠BAC = 90°, AB = 4 cm, AC = 3 cm, dan BC = 5 cm, tentukan

a. luas segitiga ABC;

b. panjang AD.

3.      Diketahui luas sebuah segitiga adalah 165 cm² dan panjang alasnya 22 cm. Hitunglah tinggi segitiga.

KUNCI JAWABAN

1.      Luas bangun segitiga dapat dicari dengan persamaan:

L.Δ= ½ x alas x tinggi

L.Δ = ½ x 12 m x 7 m

L.Δ = 42 m²

karena biaya yang diperukan adalah Rp. 60.000/m² maka biaya totalnya adalah

Biaya total = L.Δ x biaya per meter persegi

Biaya total = 42 m² x Rp. 60.000/m²

Biaya total = Rp.2.520.000,00

Jadi keseluruhan biaya yang diperlukan adalah Rp.2.520.000,00

2.      a. Karena ∠BAC = 90° salah satu kaki sudutnya bisa dijadikan tinggi atau alas, maka

L.ΔABC = ½ x alas x tinggi

L.ΔABC = ½ x AB x AC

L.ΔABC = ½ x 4 cm x 3 cm

L.ΔABC = 6 cm²

b. panjang AD dapat dicari dengan konsep luas segitiga yaitu

L.ΔABC = ½ x alas x tinggi

L.ΔABC = ½ x BC x AD

6 cm² = ½ x 5 cm x  AD

AD = 6 cm²/2,5 cm

AD = 2,4 cm

3.      L.Δ = ½ x alas x tinggi

165 cm² = ½ x 22 cm x  tinggi

165 cm² = 11 cm x  tinggi

tinggi = 165 cm²/11 cm

tinggi = 15 cm

a. Karena ∠BAC = 90° salah satu kaki sudutnya bisa dijadikan tinggi atau alas, maka

L.ΔABC = ½ x alas x tinggi

L.ΔABC = ½ x AB x AC

L.ΔABC = ½ x 4 cm x 3 cm

L.ΔABC = 6 cm²

b. panjang AD dapat dicari dengan konsep luas segitiga yaitu

L.ΔABC = ½ x alas x tinggi

L.ΔABC = ½ x BC x AD

6 cm² = ½ x 5 cm x  AD

AD = 6 cm²/2,5 cm

AD = 2,4 cm